Un dé, six cases

Supposez un dé à six faces, honnête. Vous recevez autant de points que la face affichée. Sur un grand nombre de lancers, les faces se partagent le temps à parts égales: chacune revient environ une fois sur six.

La moyenne des points n'est donc pas « le milieu visuel » du dé. C'est la somme des faces, chacune multipliée par un sixième:

E = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5

3,5 n'apparaît jamais sur le dé. Ce n'est pas une prédiction du prochain lancer. C'est le centre de gravité d'une longue série. Le mot juste, dans le glossaire, est espérance.

Pondérer, pas lisser

Changeons la règle. La face 6 rapporte 10 points, les autres rapportent 0. L'intuition dit souvent « parfois 10, donc autour de 5 ». Le calcul dit autre chose: cinq faces sur six donnent 0, une face donne 10.

E = (5/6)×0 + (1/6)×10 ≈ 1,67

La face rare tire peu la moyenne, même si elle est spectaculaire. C'est le premier réflexe utile devant une carte ou un pouvoir « qui peut tout changer »: demander combien de fois la règle se tait, pas seulement ce qu'elle crie quand elle parle.

À retenir

Une issue très forte et très rare pèse moins qu'une issue modeste et fréquente. L'espérance additionne les deux, elle ne choisit pas la plus narrative.

Décider avec ce nombre

Dans un jeu de plateau, deux actions s'offrent souvent. L'une donne 4 points à coup sûr. L'autre donne 9 points si un tirage réussit (une chance sur trois) et 0 sinon. La seconde a pour espérance 3. Sur la durée d'une partie où ce choix revient, la première avance plus. Sur un unique tirage, la seconde peut quand même l'emporter: l'espérance ne promet rien pour un coup isolé.

C'est pour cela que l'on sépare l'espérance de la variance. La première dit où se situe le centre. La seconde dit à quel point les parties s'écartent de ce centre. Un guide de stratégie qui ne donne que l'une des deux raconte une histoire incomplète.

Où le modèle s'arrête

  • Les issues doivent être listées, et leurs chances estimées. Si une règle dépend du choix adverse, la probabilité n'est plus un fait du matériel: elle dépend d'une stratégie.
  • Les points d'une partie ne sont pas toujours linéaires. Gagner 2 points quand on est à 1 du seuil n'a pas la même valeur que gagner 2 points en début de partie.
  • Un petit nombre de répétitions laisse la série loin de la moyenne. L'espérance décrit un horizon long, pas le prochain tour.

Le chiffre reste un outil de lecture. Il ne dit pas ce qu'il faut aimer dans un jeu, ni comment une table doit se comporter. Il dit seulement ce que la règle produit, en moyenne, quand on la laisse tourner.